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Ein `!Operator`! ist eine `F33f`_`[mathematische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f Vorschrift, durch die man aus `F33f`_`[mathematischen Objekten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematisches_Objekt]`_`f neue Objekte bilden kann. Er kann eine standardisierte `F33f`_`[Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktion_(Mathematik)]`_`f oder eine Vorschrift über Funktionen sein. Anwendung finden die Operatoren bei `!Rechenoperationen`!, also bei manuellen oder bei maschinellen Berechnungen.

>>Contents

• `F0af`_`[Operator`#operator]`_`f
• `F0af`_`[Operand`#operand]`_`f
• `F0af`_`[Operatoren in der Funktionalanalysis`#operatoren-in-der-funktionalanalysis]`_`f
• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f
• `F0af`_`[Lineare und nichtlineare Operatoren`#lineare-und-nichtlineare-operatoren]`_`f
• `F0af`_`[Operatoren der Physik`#operatoren-der-physik]`_`f
• `F0af`_`[Weitere Operatoren mit Verwendung in der theoretischen oder mathematischen Physik`#weitere-operatoren-mit-verwendung-in-der-theoretischen-oder-mathematischen-physik]`_`f
• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f
• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f
• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Operator

Standardisierte Operatoren werden in der Mathematik meist dann definiert, wenn es sich um eine häufige, immer wiederkehrende Vorschrift handelt, meist eine `F33f`_`[ein-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einstellige_Verknüpfung]`_`f oder `F33f`_`[zweistellige Verknüpfung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zweistellige_Verknüpfung]`_`f. Die Argumente dieser Verknüpfung heißen Operanden. Die Operatoren werden durch ein spezielles, kennzeichnendes `F33f`_`[mathematisches Symbol`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematisches_Symbol]`_`f (ein spezielles `F33f`_`[Schriftzeichen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schriftzeichen]`_`f der `F33f`_`[Formelschreibweise`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelschreibweise]`_`f) dargestellt.`:cite-ref-church-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-church-1]`_`f]

Beispiele:

• die für die `F33f`_`[Grundrechenarten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Grundrechenarten]`_`f verwendeten Operatoren, also das `F33f`_`[Pluszeichen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Pluszeichen]`_`f „+“ für `F33f`_`[Addition`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Addition]`_`f, das `F33f`_`[Minuszeichen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Minuszeichen]`_`f „−“ für `F33f`_`[Subtraktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Subtraktion]`_`f, die `F33f`_`[Malzeichen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Malzeichen]`_`f „·“, „ד oder „*“ für die `F33f`_`[Multiplikation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multiplikation]`_`f, und für die `F33f`_`[Division`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Division_(Mathematik)]`_`f die `F33f`_`[Geteiltzeichen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geteiltzeichen]`_`f „÷“, „:“, „/“ und der `F33f`_`[Bruchstrich`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bruchstrich]`_`f
• der einstellige Operator für die `F33f`_`[Gegenzahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Additiv_Inverses]`_`f, der ebenfalls mit Minus „−“ geschrieben wird
• das `F33f`_`[Verkettungszeichen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verkettungszeichen]`_`f „ ∘ ∘ {\\displaystyle \\circ } “ für die `F33f`_`[Komposition`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komposition_(Mathematik)]`_`f von Funktionen
• der `F33f`_`[Klassenbildungsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klasse_(Mengenlehre)]`_`f { ∣ ∣ } {\\displaystyle \\{\\mid \\}}

>>Operand

Die Argumente, auf die man einen Operator anwendet, heißen Operanden. Beim Ausdruck 1 + 2 {\\displaystyle 1+2} sind also die Zahlen 1 {\\displaystyle 1} und 2 {\\displaystyle 2} die Operanden, die mit dem zweiseitigen Operator + {\\displaystyle +} verknüpft sind.

>>Operatoren in der Funktionalanalysis

In der `F33f`_`[Funktionalanalysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionalanalysis]`_`f hat man es mit `F33f`_`[Vektorräumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorraum]`_`f zu tun, deren Elemente selbst Funktionen sind. Um die Elemente dieser Vektorräume besser von den Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen zu unterscheiden, nennt man letztere auch `*Operatoren`*. Abbildungen von Funktionenräumen in den Körper der reellen oder komplexen Zahlen heißen auch Funktional.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] Spezielle Klassen von Operatoren sind etwa `F33f`_`[kompakte Operatoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kompakter_Operator]`_`f oder `F33f`_`[Fredholm-Operatoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fredholm-Operator]`_`f.

>>>Beispiele

Bekannte Beispiele für Operatoren, die einer Funktion eine Zahl oder eine andere Funktion zuordnen, sind:

• Der `F33f`_`[Differentialoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialoperator]`_`f d d x {\\displaystyle \\textstyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} x}}} zur Bildung von `F33f`_`[Differentialen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differential_(Mathematik)]`_`f.
• Der `F33f`_`[Volterraoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volterraoperator]`_`f ∫ ∫ 0 t {\\displaystyle \\textstyle \\int _{0}^{t}} zur Bildung des `F33f`_`[bestimmten Integrals`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bestimmtes_Integral]`_`f. Operatoren wie diese, die einer Funktion eine Zahl zuordnen, nennt man `F33f`_`[Funktional`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktional]`_`f.
• Der `F33f`_`[Nabla-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Nabla-Operator]`_`f ∇ ∇ {\\displaystyle \\nabla } zur Bestimmung des `F33f`_`[Gradienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gradient_(Mathematik)]`_`f einer mehrdimensionalen Funktion.

>>>Lineare und nichtlineare Operatoren

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Hauptartikel

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Linearer Operator

In der Funktionalanalysis betrachtet man Eigenschaften von Abbildungen zwischen (unendlichdimensionalen) `F33f`_`[Banachräumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Banachraum]`_`f. `F33f`_`[Lineare Abbildungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f heißen lineare Operatoren, nichtlineare Abbildungen werden nichtlineare Operatoren genannt.

>>Operatoren der Physik

→

Hauptartikel

:

Observable

Observablen in der `F33f`_`[Quantenmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenmechanik]`_`f sind Operatoren. Sie werden meist nach der zu messenden Größe benannt: der Operator zur Ortsmessung heißt dann der `!`F33f`_`[Ortsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ortsoperator]`_`f`! x ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {\\mathbf {x} }}} . Entsprechend gibt es den `!`F33f`_`[Impulsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Impulsoperator]`_`f`! p ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {\\mathbf {p} }}} , den `F33f`_`[Spinoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f s → → ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {\\vec {\\mathbf {s} }}}} usw.

Der Operator zur Energie wird `!`F33f`_`[Hamilton-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamilton-Operator]`_`f`! genannt und mit H ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {H}}} bezeichnet. Er kommt insbesondere in der `F33f`_`[Schrödinger-Gleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schrödinger-Gleichung]`_`f i ℏ ℏ ∂ ∂ ∂ ∂ t | ψ ψ ( t ) ⟩ ⟩ = H ^ ^ | ψ ψ ( t ) ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\mathrm {i} \\hbar {\\tfrac {\\partial }{\\partial t}}|\\,\\psi (t)\\rangle ={\\hat {H}}|\\,\\psi (t)\\rangle } vor.

Der `!`F33f`_`[Dichteoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dichteoperator]`_`f`! ρ ρ {\\displaystyle \\rho } gibt für ein `F33f`_`[Ensemble`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ensemble_(Physik)]`_`f die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich ein herausgegriffenes System in einem bestimmten Zustand befindet.

>>>Weitere Operatoren mit Verwendung in der theoretischen oder mathematischen Physik

• `F33f`_`[Casimir-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Casimir-Operator]`_`f
• `F33f`_`[D'Alembert-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=D’Alembert-Operator]`_`f
• `F33f`_`[Dirac-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirac-Operator]`_`f
• `F33f`_`[Hermitescher Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hermitescher_Operator]`_`f
• `F33f`_`[Hodge-Stern-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hodge-Stern-Operator]`_`f
• `F33f`_`[Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Operator]`_`f
• `F33f`_`[Liouville-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Liouville-Gleichung]`_`f
• `F33f`_`[Schrödinger-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schrödinger-Operator]`_`f
• `F33f`_`[Zeitentwicklungsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitentwicklungsoperator]`_`f
• `F33f`_`[Pfadordnungsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Pfadordnung]`_`f (siehe auch `F33f`_`[Wick-Theorem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wick-Theorem]`_`f)

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Logischer Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Logischer_Operator]`_`f
• `F33f`_`[Operatorrangfolge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operatorrangfolge]`_`f
• `F33f`_`[Operatorenrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operatorenrechnung]`_`f
• `F33f`_`[Operatorenschreibweise`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operatorenschreibweise]`_`f

>>Literatur

• `*Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe`*. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-church-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-church-1-0]`_`f Alonzo Church: Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-02906-7, S. 39 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Klaus Deimling: `*Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade.`* Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.

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